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19.★(本小题满分10分)已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2a2a3的等差中项,且.求极限的值.

分析 首先需求出anbn的表达式,以确定所求极限的表达式,为此,关键在于求出两个数列的公差,“b2a2a3的等差中项”已给出一个等量关系,“anbn之比的极限为”又给出了另一个等量关系,故可考虑先设出公差用二元方程组求解.

解 设{an}、{bn}的公差分别为d1d2,

∵2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),

∴2d2-3d1=2.①   2分

d2=2d1,②    4分

联立①②解得d1=2,d2=4.

an=a1+(n-1)d1=3+(n-1)·2=2n+1,

bn=b1+(n-1)d2=2+(n-1)·4=4n-2.   6分

10分

羊祜的主力难道一点作用都没有吗

18.(本小题满分10分)已知数列{an}、{bn},其中an=1+3+5+…+(2n+1),bn=2n+4(n≥5),试问是否存在这样的自然数n,使得anbn成立?

分析 对n赋值后,比较几对anbn的大小,可作出合理猜测,再用数学归纳法予以证明.

an=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2,

n=5时,a5=36,b5=25+4=36,此时a5=b5;

n=6时, a6=49,b6=26+4=68,此时a6<b6;

n=7时,a7=64,b7=27+4=132,此时a7<b7;

n=8时,a8=81,b8=28+4=260,此时a8<b8.

猜想:当n≥6时,有an<bn.    3分

下面用数学归纳法证明上述猜想.

①当n=6时,显然不等式成立,∴n=6时,不等式an<bn成立;

②假设当n=k(k≥6)时,不等式成立,即ak<bk,也即(k+1)2<2k+4;当n=k+1时,bk+1=2k+1+4=2(2k+4)-4>2(k+1)2-4=2k2+4k-2,

而(2k2+4k-2)-(k+2)2=k2-6>0(∵k≥6,∴k2>6),

即2k2+4k-2>(k+2)2=[(k+1)+1]2.

由不等式的传递性,知bk+1>[(k+1)+1]2=ak+1.

∴当n=k+1时,不等式也成立.   8分

由①②可知,对一切n∈N,且n≥6,都有an<bn.

综上所述,可知只有当n=5时,an=bn;当n≥6时,anbn.因此存在使anbn成立的自然数n.

10分

由20多人的规模起步

17.(本小题满分8分)某校有教职工150人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计,每次去健身房的人有10%下次去娱乐室,则在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳定?

分析 本题考查用数列的递推公式求通项及数列的极限.

解 设第n次去健身房的人数为an,去娱乐室的人数为bn,则an+bn=150,       2分

an=an-1+bn-1=an-1+(150-an-1)=an-1+30,

an=an-1+30.         4分

an-100=(an-1-100).于是an-100=(a1-100)·()n-1,即an=100+()n-1·(a1-100).  6分

an=100.故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在100人左右.       8分

为一巨大方山台地


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